Народився 8 березня 1925 року в селі Кузьміщево Тарусского району Калузької області (Росія) в родині робітника. З 1931 року жив у Москві. Закінчив 5 класів, з 15 років працював на заводі. Восени 1941 року під час оборони Москви Живов чергував на дахах, гасив бомби і вогнища пожеж. Саме тоді він отримав звістку про загибель своєї бабусі і присягнувся помститися фашистам за її смерть. У травні 1943 року Живов добровільно пішов на фронт. Був дуже сміливий, одного разу він вдвох з лейтенантом-артилеристом вiдбив танкову атаку гітлерівців, знищивши 2 фашистських танки. 4 квітня 1944 в бою за Тернопіль Живов з котушкою на спині прокладав телефонну лінію. Батальйон наступав. Раптово його просування сповільнилося. На вулиці Міцкевича з амбразур в масивній стіні, що оточувала міську в'язницю, майже в упор вдарили кулеметні черги. Особливо жорстоким був вогонь великокаліберного кулемета. Штурмові групи не змогли придушити точки ворога. Десятки бійців загинули у нещасливої стіни. Живов зголосився придушити вогневу точку пляшками з горючою сумішшю. Він підповз до амбразури і кинув у неї 2 пляшки. Кулемет змовк, але незабаром запрацював знову. І тоді вже двічі поранений телефоніст, зібравши останні сили, кинувся до амбразури і закрив її своїм тілом. Піднявшись у єдиному пориві, товариші героя зім'яли ворога і увірвалися в будівлю в'язниці, добиваючи залишки гітлерівців, що сховалися за стінами старовинних казематів. Анатолій живов похований у Тернополі в парку Слави. У Указом Президії Верховної Ради СРСР від 23 вересня 1944 року за винятковий героїзм і самопожертву в ім'я Батьківщини на фронті боротьби з німецькими загарбниками Анатолію Павловичу Живова було посмертно присвоєно звання Героя Радянського Союзу. Нагороджений орденом Леніна.